Euclides

Euclides (Εὐκλείδης, ca. 325 aC – ca. 265 aC)

Byrne's Euclid

Libro I. Definiciones – Ὅροι (Perseus)

α΄. σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. 1 – Punto es (aquello) de lo que (no hay) ninguna parte.

β΄. γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. 2 – Línea (es) longitud sin anchura.

γ΄. γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. 3 – Los extremos de una línea (son) puntos.

δ΄. εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. 4 – Línea recta es la que se extiende por igual en todos los puntos en ella.

ε΄. ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. 5 – Superficie es lo que solo tiene longitud y anchura

ϛ΄. ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. 6 – Los extremos de una superficie (son) líneas.

ζ΄. ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. 7 – Superficie plana es la que se extiende por igual en las (líneas) rectas en ella.

η΄. ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ᾽ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. 8 – Ángulo plano es, en una (superficie) plana, tocándose dos líneas entre sí y no estando situadas en línea recta, la inclinación de las líneas entre sí.

ángulo plano rectilíneo

θ΄. ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται γωνία. 9 – Cuando las líneas que contienen el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.

ι΄. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ᾽ ἣν ἐφέστηκεν. 10 – Cuando una (línea) recta, que está colocada sobre (otra línea) recta, hace los ángulos contiguos iguales entre sí, cada uno de los dos ángulos iguales es (un ángulo) recto, y la (línea) recta que se apoya (sobre la otra) se denomina perpendicular (respecto de aquella) sobre la que se apoya.

ángulo recto - perpendicular

ια΄. ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν μείζων ὀρθῆς. 11 – Ángulo obtuso es el mayor que uno recto.

ángulo obtuso

ιβ΄. ὀξεῖα δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς. 12 – Agudo, el menor que uno recto.

ángulo agudo

ιγ΄. ὅρος ἐστίν, τινός ἐστι πέρας. 13 – Límite es lo que es extremo de algo.

ιδ΄. σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος τινων ὅρων περιεχόμενον. 14 – Figura es lo contenido por algún o algunos límites.

ιε΄. κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. 15 – Un círculo es una figura plana contenida por una sola línea -que se llama periferia-, con respecto a la cual, desde un determinado punto de los que hay situados dentro de la figura, todas las (líneas) rectas que se dirigen (hacia la periferia del círculo) son iguales entre sí.

círculo

ιϛ΄. κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. 16 – Centro del círculo se llama ese punto.

ιζ΄. διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον. 17 – Diámetro del círculo es una (línea) recta, cualquiera llevada a través del centro y limitada a una y otra parte por la periferia del círculo, la cual además divide en dos el círculo.

diámetro

ιη΄. ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ᾽ αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν. 18 – Semicírculo es la figura contenida entre el diámetro y la periferia separada por él. El centro del semicírculo es el mismo que (lo) es también del círculo.

semicírculo -

ιθ΄. σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα. 19 – Figuras rectilíneas son las contenidas por (líneas) rectas, triláteras las (contenidas) por tres (líneas), cuatriláteras las (contenidas) por cuatro (líneas), multiláteras las (contenidas) por más de cuatro (líneas) rectas.

Poliláteros

κ΄. τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς. 20 -De las figuras triláteras, triángulo equilátero es la (figura) que tiene los tres lados iguales, isósceles la que tiene solo dos lados iguales, escaleno la que tiene los tres lados desiguales.

κα΄. ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. 21 – Además, de las figuras triláteras, es triángulo rectángulo la (figura) que tiene un ángulo recto, obtusángulo la (figura) que tiene un ángulo obtuso, acutángulo la (figura) que tiene los tres ángulos agudos.

triángulos

κβ΄. τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. 22 – De las figuras cuatriláteras, es un tetrángulo la (figura) que es equilátera y de ángulos rectos, un oblongo la (figura) de ángulos rectos, pero no de lados iguales, un rombo la (figura) de lados iguales, pero no de ángulos rectos, un romboide la (figura) que tiene los lados opuestos y también los ángulos (opuestos) iguales entre sí, pero la cual no es ni de lados iguales ni de ángulos iguales; las (figuras) de cuatro lados fuera de estas, sean llamadas trapecios.

cuadrados

κγ΄. παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. 23 – Paralelas son (líneas) rectas, las cuales, estando en el mismo plano y extendidas hacia el infinito en  uno y otro sentido, en ninguno de los dos coinciden la una con la otra.

paralelas

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